Définition et construction des fractales
Définir correctement ce qu'est une fractale n'est pas simple et certaines définitions trouvées dans divers articles sont inexactes, Mandelbrot ayant lui-même varié dans ses propos.
La fractale est donc un objet mathématique défini par Mandelbrot comme un « objet dont la structure est invariante par changement d’échelle », c'est-à-dire que comme le choux observé précédemment, quelle que soit la partie observée, sa forme sera identique au tout, seule la taille diffère : si l'on « zoom » sur la fractale, on aura une impression de déjà vu, ce qui sera le cas.
Il existe deux méthodes de création d'une fractale :
- Grâce à une équation : On répète l’opération Z²+C avec C = x+yi et idem pour Z = x+yi mais Z et C faisant partis du domaine des nombres complexes, nous n'aborderont pas cette méthode ici.
- Grâce à une construction schématique : Nous partons, pour cela, d'une forme géométrique simple que l'on appellera « initiateur ». Nous ajouterons à cet initiateur une modification quelconque que l'on appellera « générateur ». A partir de ces deux éléments, nous répétons (chaque répétition correspondant à une « itération ») ces deux étapes :
- Rechercher les initiateurs : il faut d'abord repérer toutes les formes correspondants à l'initiateur, elles doivent avoir strictement la même forme mais peuvent être de tailles différentes.
- Appliquer le générateur : pour chacune de ces formes trouvées, on leur applique une modification identique au générateur.
On peut prendre l'exemple du Flocon de Koch :
Dans cet exemple, nous partons d'un simple segment (notre initiateur). Nous appliquons notre générateur : nous découpons notre segment en trois, les deux parties extérieures sont laissées telle quelles. La partie centrale en revanche est modifiée de sorte qu'en son centre, elle soit "étirée" vers le haut, ressemblant ainsi à deux côtés d'un triangle isocèle, on remplace donc le tiers central par deux sous-segments de même longueur. Nous obtenons donc la première itération. Notre nouvelle forme est ainsi composée de quatre segments. Pour l'itération suivante, il suffit de répéter ces opérations sur chacun des quatre nouveaux segments pour en obtenir (4X4=) seize !
Mais ce n'est ici qu'une simplification ! Le vrai Flocon de Koch est une figure fermée qui débute avec un triangle (initiateur) auquel on applique pour chacun des côtés les mêmes opérations réalisées précédemment.
A partir de cet exemple, on voit qu'il y a une infinité d'exemples ! Le Flocon de Koch appartient à la géométrie plane, mais il est également possible d'en créer en trois dimensions ! Voici quelques exemples de fractales 2D et 3D :
Mais ce ne sont ici que des fractales simples à construire. Avec d'autres procédés mathématiques plus complexes (généralement utilisés par des logiciels), nous pouvons obtenir des formes elles-même bien plus complexes :
