Les suites numériques, une application mathématique des fractales
Les fractales interviennent aussi pour la science des mathématiques. En effet les suites mathématiques peuvent êtres associées au domaine des fractales.
Les suites
Une suite mathématique est une fonction qui applique une formule à l'aide du résultat précédent. Une suite possède au départ le premier terme de la suite, que l'on note U0. Comme dit quelques lignes plus tôt, les suites ont une fonction. Au lieu d'êtres notées f(x) ou y, celles-ci sont écrites sous la forme Un+1 car le départ étant U0, si l'on veut le deuxième terme de la suite, on peut ainsi faire U0+1=1, ainsi on obtient U1. Par exemple, la suite Un+1=2Un+3 ayant pour premier terme U0 = 5 à pour premiers termes :
- U1=U0+1(=1)=2xU0+3=2x5+3=13
- U2=U1+1(=2)=2xU1+3=2x13+3=26
- U3=U2+1=2x26+3=55
- Un=U(n-1)+1=2Un-1+3=Un
Il existe aussi des suites de type Un+1=Un-4+n. Celles-ci sont à traiter comme les suites normales. On peut constater que la répétition de ces opérations peuvent se poursuivre à l'infini, tel les fractales. On peut aussi créer une forme géométrique d'apparence fractale, si on prend comme abscisse le premier terme de la suite et les résultats suivants celui-ci. Ensuite, on peut associer au ordonnées le résultat et ainsi obtenir une forme de distance infinie. Il existe deux formes pour les suites numériques: la formule récurrente qui s'écrit sous la forme Un+1=f(Un) et la formule explicite qui s'écrit sous la forme Un=f(n). Ces 2 formes sont identiques, elle permettent juste de faciliter leur utilisation mathématique.
Les suites arithmétiques
Les suites arithmétiques sont des suites qui peuvent s'écrire sous la forme Un+1=U0+nr, où r est la raison de la suite. Ce type de suite réagi de la même façon que les suites simples.
Schéma du processus pour passer d'un terme à un autre d'une suite arithmétique
Les suites géométriques
Les suites géométriques sont écrites sous la forme Vn+1=qVn. Ainsi pour passer d'un terme à un autre on multiplie par la raison "al contrario" des suites arithmétiques où l'on ajoute par la raison.
Utilisation d'un logiciel
Nous avons réalisé le graphique d'une suite numérique simple de fonction Un+1=2Un+3 avec le logiciel gratuit Xcas qui est un logiciel permettant d'effectuer des graphiques 2D et 3D, du calcul formel et bien d'autres choses encore. En utilisant la commande permettant de tracer le graphe d'une suite, on obtient :
Ainsi est la courbe de représentation de la suite Un+1=2Un+3. On peut observer que le même motif de traçage des termes (en rose) semble se répéter en s'étendant. Voyons cela...
En effet en grandissant l'échelle on observe la répétition su même motif :
On peut continuer, et ainsi de suite !
Même avec très grande une échelle, le motif reste toujours le même. On peut donc en conclure que la taille de ce motif est infini, de plus, il est répétitif, il possède donc une forme fractale.